О развитии способностей к изучению математики

Э.А. Моторова, канд. физ- мат наук

В современной жизни в связи с бурным развитием компьютерных технологий и появлении таких феноменов цивилизации, как система блок чейн, криптовалюта и других достижений науки и техники, не только радикально меняющих жизнь широкого круга людей, но и и требующих от них глубокого осознания происходящего, серьезных математических знаний и творческих способностей к обретению этих знаний, развитие способности к изучению математики особенно актуально.

А между тем многие школьники и студенты испытывают в этом большие трудности, и некоторые считают себя вовсе неспособными к математике.

Наукой доказано, что отдельные способности даются человеку при рождении. Но, как правило, развиваются они в процессе деятельности. При отсутствии деятельности изначально данные способности исчезают [1].

В процессе изучения математики у школьников и студентов развивается интеллект, память, умение логически мыслить. Однако именно в процессе обучения учащиеся могут получить и полную неспособность к изучаемому предмету, и полное отсутствие интереса к нему. Как это получается?

Известно, что наш мозг алгоритмически работает, как компьютер [2,3]. . Всякий раз, когда мы слышим очередное слово-термин (например, «пирамида»), в нашем сознании открывается соответствующий «файл» (в данном случае под названием «пирамида»), и просматривается, что там записано. Если определение этого слова наличествует в сознании, то дальнейшее нам понятно. Если же «файл» пуст, то человек испытывает дискомфорт, поскольку не может воспринять смысл сообщения. Если он слышит поток непонятых терминов, то в его сознании открывается уже целый ряд пустых «файлов». В результате индивид испытывает глубокое расстройство: его может подташнивать, у него кружится голова, он ощущает напряжение, злость, агрессию, направленную на процесс обучения и изучаемый предмет. И, как следствие, – у человека формируется постулат неспособности [2,3].

Поэтому первое требование, которое должен учитывать любой лектор, из самых добрых побуждений желающий передать как можно больше знаний аудитории слушателей,- это недопустимость использования терминов без прояснения их значения.

Конечно, преподавателю в пределах занятия невозможно отследить уровень грамотности разнородной аудитории, но ему неукоснительно следует придерживаться правила: толковый словарь должен быть рабочей книгой, постоянно используемой на каждом занятии; все термины и понятия должны быть прояснены в обязательном порядке [1,2].

Процесс прояснения незнакомых слов, а также проработки неусвоенных тем наводит порядок в мыслях, развивает способности обучающихся. А самое главное – пробуждает и поддерживает интерес к изучаемому предмету.

Интерес к математике возникает уже при осмыслении самого понятия «математика». И здесь уместно будет привести цитату из замечательной книги известного нижегородского ученого, профессора Ю.И. Неймарка «Математические модели в естествознании и технике»: «Если вы хотите поговорить и понять француза, вам надо изучить французский язык, с англичанином – английский язык, с природой – математический язык. Только на математическом языке природа открывает нам свои тайны, и если вы хотите их постичь, вы должны изучить математический язык, изучить математику. С природой и техникой, тоже частью природы, но только созданной человеком, нужно разговаривать на математическом языке… Языки человека – это конкретные языки, в них каждое слово имеет конкретный смысл. Математический язык — язык абстрактный. Но все они — языки, и это различие не так уж существенно.» И далее: «В науке и ее приложениях, как и в жизни, самое главное – понимание. Оно всегда просто, зато добывается трудно.»[4]

Дух захватывает от восторга, когда только начинаешь понимать, что такое математика. От восторга перед красотой и мощью этой царственной науки, перед ее колоссальными возможностями, позволяющими нам не только понимать, но и общаться с материальным миром природы и техники, миром, в котором мы живем и который создаем своей интеллектуальной и практической деятельностью [4].

Математик – это совсем не тот, кто только вычисляет, занимается скучной, рутинной работой. Вовсе нет! Для этого есть компьютеры и пользователи компьютеров. Математик же создает алгоритмы для компьютерных программ. Но это совсем не главное в его деятельности. Математик может воспринимать мир сквозь структуры математических моделей. Он может открывать и наблюдать сходные математические структуры в самых различных физических, экономических и социальных явлениях. Например, нейтронная вспышка, гиперинфляция и размножение вирусов в организме математически описываются одними и теми же дифференциальными уравнениями. Динамика всех этих явлений графически изображается одной и той же кривой — разгонной экспонентой, т.е. кривой, описывающей динамику цепного взрыва.

Математик в современном мире – это и предсказатель, и пророк, суждения которого основываются на строгих законах математического моделирования. Он может предсказать динамику любого явления, если имеет достаточно точные исходные данные: и как изменится климат на планете, и куда полетит комета или метеорит. Конструктор может нарисовать очень красивую модель самолета или ракеты, но только математик скажет, как эта конструкция будет работать и что нужно сделать, чтобы она работала хорошо.

В студенческой среде большой интерес вызывает знакомство с ролью теории вероятностей в современной жизни. На таких занятиях студенту, в частности, предлагается примерить роль страховщика, который берет на себя риски посторонних людей и обязанность вовремя оплачивать понесенный ущерб своих клиентов. В противном случае страховщик теряет лицензию. Он не знает наперед, кому, когда и сколько он должен будет заплатить, и при этом всегда оказывается в выигрыше. Страховые компании — это самые богатые финансовые организации в мире. Крупный бизнес работает не с банками, а со страховыми компаниями. Благодаря чему это происходит?

Оказывается, страховщик хорошо знает теорию вероятностей, у него все просчитано наперед. Ведь то, что случайно для одного человека, оказывается вполне закономерным в массовых явлениях. Страховщики знают закон больших чисел и применяют его в своем бизнесе.

Интересно отметить факт того, что большую роль в развитии теории вероятностей сыграли азартные игры. Немало игроков обращалось к математикам с просьбой решить конкретные игровые задачи. Известно даже математическое решение игровой задачи, называемой «Санкт-Петербургский парадокс», в котором дается алгоритм разорения казино [5]. В настоящее время на основе теории вероятностей создана теория игр. Эта отрасль математики позволяет определить оптимальную стратегию в условиях неопределенности, что может быть применено не только в играх, но и в жизни, которую математики иногда рассматривают как одну из самых увлекательных и азартных игр. Знать и уметь применять на практике аппарат теории вероятностей, теории игр и других отраслей математики — не только интересно, но и очень полезно.

Математика широко используется и в области в экономики. Имя американского экономиста В.В. Леонтьева известно во всем мире. В действительности это русский ученый, который эмигрировал в Америку из СССР, поскольку в условиях социализма его теория балансового анализа не могла быть признана на родине. Что же открыл В.В. Леонтьев? Прославленный ученый формализовал некоторую часть экономики, т.е. создал ее математическую модель, представляющую собой систему линейных уравнений. Для решения сформулированной задачи Леонтьев применил аппарат линейной алгебры, которую студенты изучают на первом курсе. Понять и применить этот математический аппарат совсем несложно. Гений В.В. Леонтьева состоял в том, что он сумел разглядеть в совершенно неформализованной сфере человеческой деятельности такие структуры, к которым можно было применить строгий математический аппарат[6]. Решив задачу балансового анализа, Леонтьев получил результаты, которые были оценены Нобелевской премией. А его теория развивается и совершенствуется до сих пор. Вот что значит увидеть математические структуры в неформализованной отрасли знаний и создать соответствующую математическую модель.

Существенна роль математики и математиков и в нашей Победе в годы Великой Отечественной войны. Будучи студентами мехмата, мы с замиранием сердца слушали лекцию нашего преподавателя А.А. Миролюбова о том, как с помощью такой абстрактной области математики, как теория функций комплексного переменного, академиком М.А. Лаврентьевым и его учениками была решена задача кумулятивного заряда. Это позволило создать знаменитые «Катюши», роль которых в условиях Отечественной войны 1941-1945гг трудно переоценить.

Интересны также особенности языка математики. Математика не терпит лишних слов и не допускает излишеств. Язык ее точен и краток. Он един и понятен для всего мира. В этом его красота и достоинство. Единственное, что может сравниться с ним по плотности информации (а иногда даже превзойти), это поэзия. По мнению математика Г. Секей [5], магия поэтического слова состоит в том, что поэт непостижимым образом в нескольких словах может передать такой объем информации, для которого в прозе потребуется очень длинный текст. Это происходит потому, что поэтический слог, войдя в резонанс с чувствами, позволяет читателю все понимать с полуслова.

При обучении математике большую роль играет преподаватель. Как поэтический текст входит в резонанс с мыслями и чувствами читателя, так и преподаватель в своем непосредственном общении со студентами передает им не только знания, но и образ мышления, эмоциональное состояние, часть своей души — воспитывает в своих слушателях и интерес к предмету, и творческие способности.

Никакое обучение через интернет не может сравниться с непосредственным общением студента или школьника с преподавателем, который оценивает особенности восприятия ученика, выявляет непонятые им термины и неосвоенные темы и помогает справиться с этими проблемами. При непосредственном общении с учеником преподаватель может выявить нечаянно возникшие постулаты неспособности и помочь их убрать. Но самое главное – преподаватель создает состояние интереса и творческого подхода к изучению предмета. Не зря говорится, что первый принцип воспитания – личный пример, второй – личный пример и третий – тоже личный пример.

Мне повезло при обучении в аспирантуре иметь своим наставником и руководителем Ю.И. Неймарка. Он без каких-то особых слов и указаний, а на уровне ощущений и считывания его образа мыслей, подходов к решению задач, стиля научных статей и книг, отношения к науке, образованию и жизни, помогал нам, аспирантам и студентам, вырабатывать свой собственный взгляд на труд, науку и жизнь.

Будучи школьницей, я совсем не собиралась стать математиком. Химия или литература казались гораздо интереснее. Но наш учитель по математике был очень увлеченным человеком. Он даже ничего особенного не говорил, но когда он произносил слово бесконечность, то у него было такое выражение лица и во всем его облике ощущалось такое эмоциональное состояние, будто он, глядя в звездное небо, открывает там тайны мироздания. Все мы, его ученики, это ощущали и замирали в предчувствии чудесных открытий. Так интересно было узнать, что же видит наш Петр Петрович в этой математической бесконечности и что вызывает такой зачарованный блеск его глаз.

Эта увлеченность преподавателя настолько сильно воздействовала на нас, его учеников, что у многих меняла их жизненный выбор и даже судьбу. Я пошла учиться на мехмат и никогда не пожалела об этом. Дух творчества там царил такой, что о математике я начала писать стихи:

Когда учились на мехмате,

Нам открывался новый мир.

Симфонией звучал эфир

Математических понятий.

Качалась колыбель Вселенной.

Во всех вещах, предметах бренных

Высвечивалась суть структур

Математической модели.

Как жадно мы познать хотели

Премудрость царственной науки,

И, взявши лист бумаги в руки,

Мечтали взять тот интеграл,

Что до сих пор никто не брал…

Однако, как на Солнце есть пятна, так и математика не свободна от парадоксов. Это значит, что она не завершена, требует своего развития, совершенствования. «Гений — парадокса друг», — писал Пушкин. Парадоксы теории множеств и других отраслей математики ждут своих «друзей»- гениев, которые их разрешат. Тогда наука может измениться до неузнаваемости:

Как циркача волшебный фокус

Укутан в золотой покров,

Неразрешимый парадокс

Незримо, тихо существует

В густых тенетах умных слов.

Но в час иной он так бушует,

Что строй логических основ,

Теорий, парадигм, гипотез,

Летит спиралью Архимеда,

Вращаясь, в черную дыру,

Как стаи бабочек – к костру,

Сливаясь с пеплом напоследок.

И снова первозданный хаос,

Все та же колыбель Вселенной…

Вдохнув разумной жизни дао,

Вдруг новый храм встает из пены

Простых и очевидных истин,

Знакомых с детства целых чисел.

И Время каблучком хрустальным

Шагает к логике формальной.

Творческая увлеченность вершит чудеса, разбивает в пыль все привнесенные неспособности и создает успешных и даже гениальных людей. Ибо только увлеченные люди становятся творцами.

Преподаватель – это помощник студентов и школьников и их проводник в мир творчества.

Литература

1. П. Ричард, п. Майкл Как повысить свой интеллект, М., «Астрель»,2003.
2. Кехо Д., Фишер Н. Сила разума для детей, Минск, «Попурри»,2003.
3. БьюзенТ.Могущество вербального интеллекта, Минск, «Попурри»,2002.
4. Ю.И. Неймарк Математические модели в естесвознании и технике, Н.Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского,2004.
5. Г. Секей. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. М.,Мир,1990.
6. Высшая математика для экономистов пол редакцией К.Ш. Кремера, М., Юнити-Дана, 2008.
7. Моторова Э.А. Здесь комната светла. Стихи разных лет, Н.Новгород, «Деловая полиграфия», 2011.